c'est le cube de l'indice n de la suite = 8 milliards
C'est effectivement la somme des n derniers entiers impairs, mais dont l'indice max vaut la somme des entiers de 0 à n.
C'est donc la difference entre le carre de la somme des n premiers entiers (la carre se calcule à partir de la formule n(n+1)/2 = somme des n premiers entiers) et le carre de la somme des n-1 premiers entiers.
Comme c'est une difference de carres, elle se simplifie par identite remarquable et donne finalement n au cube.
c'est le cube de l'indice n de la suite = 8 milliards
C'est effectivement la somme des n derniers entiers impairs, mais dont l'indice max vaut la somme des entiers de 0 à n.
C'est donc la difference entre le carre de la somme des n premiers entiers (la carre se calcule à partir de la formule n(n+1)/2 = somme des n premiers entiers) et le carre de la somme des n-1 premiers entiers.
Comme c'est une difference de carres, elle se simplifie par identite remarquable et donne finalement n au cube.
S(n)=somme des n(n+1)/2 premiers impairs moins la somme des n(n-1)/2 premiers impairs
[le n(n+1)/2 se démontre par récurrence: au rang n+1 il y en a bien (n+1) en plus, soit (n+1)(n+2)/2, et au rang 1, on en avait 1.]
Donc S(n)=n²(n+1)²/4-n²(n-1)²/4 (merci google, mais bon ça doit se démontrer aussi, que la somme des p premiers impairs vaut p², par récurrence, aussi: p²+ (2p+1) vaut bien (p+1)², et là encore c'était vrai au rang 1...)
S(n) = (n(n+1) -n(n-1))x(n(n+1)+n(n-1))/4
= 2n ( 2n²) /4 = n3, quod erat demonstrandum, à condition de ne pas oublier de rappeler que les propositions sont vraies au rang 1, à chaque fois... sinon ça vaut pas. Enfin, de mon temps, on nous comptait pas la démonstration si on citait pas la propriété au rang 1.
Olivier super-naturel !! , j'ai calculé la somme des impairs à partir de la somme des entiers !! Un nombre impair n'étant que le double d'un entier auquel on ajoute 1 ! :)
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17/11/06 - 14:48
C'est le carré de la suite (2000+1999+1998+...+2+1) dont j'ignore la formule de calcul... j'ai bon ?
— feelstill